Nama : Febriyanto
Kelas : 2IA14
NPM : 53413379
1.
Jika 2 +
4 + 6 + .... + 2n = n(n+1), apakah terbukti benar jika n = 1…
Jawaban : Benar
Penjelasan :
n
= 1, maka 2 = 1(1 +1)
= 1 . 2
= 2 (terbukti benar
untuk n = 1)
2.
Apakah N3 + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk
n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n
(menggunakan induksi matematika)…?
Jawaban
: Ya dan ya
Penjelasan :
q
Basis untuk n = 1 akan diperoleh :
13
+ 2(1) = 3 yg merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n=1)
q
Induksi misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x
q
Adib untuk n = k + 1 berlaku
(k
+ 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
(k
3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2
(k
3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)
(k
3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)
Induksi
3x
+ 3 (k 2 + k + 1)
3
(x + k 2 + k + 1)
Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk
setiap bilangan bulat positif n (ya berlaku kelipatan 3).
3.
Misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif
n ≥ 1 untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... +
2n = n (n + 1). Apakah p(n +1) bernilai benar…?
Jawaban : Benar
Penjelasan :
Buktikan
bahwa p(n +1) benar, maka:
n
= n + 1
2
+ 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)
2
+ 4 + 6 + ... + 2n + 2 (n +1) = n + 1 (n
+ 1 + 1)
2n + 2n + 2 = (n + 1) (n + 2)
2n + 2n + 2 =
n (n + 1) + 2n + 2
= n2 + n + 2n + 2
= n2 + 3n + 2
= (n + 1) (n + 2)
Terbukti Benar
4.
Buktikan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1
sampai n adalah n(n + 1)/2”!
Jawaban :
Langkah
I : Buktikan bahwa P(1) benar
P(1) = 1(1 + 1)/2 = 1
………. Terbukti
Langkah
II : Buktikan bahwa jika P(n)
benar, maka P(n+1) juga benar
P(n+1) = 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1)
(n+1)((n+1) +1)/2 =
P(n) + (n+1)
(n+1)(n+2)/2 =
n(n+1)/2 + 2(n+1)/2
(n+1)(n+2)/2 =
(n+2)(n+1)/2 ……. Terbukti
5.
Gunakan induksi matematika untuk membuktikan
bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Penyelesaian :
(i)
Basis induksi :
Untuk
n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini
benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
(ii)
Langkah induksi : Andaikan p(n)
benar, yaitu pernyataan
1
+ 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
adalah
benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah
(2n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1
+ 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
juga
benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 +
5 + … +
(2n – 1)] + (2n + 1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
=
(n + 1)2
Karena
langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka
jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Related Posts
